Un concours d'art urbain

Lors d'un concours d'art urbain, une épreuve consiste à peindre un mur mis à disposition de la ville. Les participants doivent décorer deux parties de ce mur : une partie carrée et une partie triangulaire, schématisées dans cet extrait du règlement.
Voici une représentation du mur :

\(\)`\text{ABCD}` est un carré de côté \(5\) m.
À l'intérieur de ce carré, on construit un motif bleu formé de deux figures : un carré \(\text{A}\text{E}\text{F}\text{G}\) et un triangle \(\text{E}\text{B}\text{H}\) isocèle en \(\text{H}\).
On précise que le point \(\text{E}\) appartient au segment \([\text{A}\text{B}]\), le point \(\text{G}\) appartient au segment \([\text{A}\text{D}]\) et le point \(\text{H}\) appartient au segment \([\text{C}\text{D}]\).

De plus, les artistes sont soumis à la contrainte suivante : « Afin que l’œuvre soit éligible au concours, il faut que l'aire décorée soit comprise entre \(11\) m² et la moitié de l'aire du mur. »

Partie A : conjecture

En utilisant le fichier de géométrie dynamique suivant, déplacer le point \(\text{E}\) sur le segment \([\text{AB}]\) afin d'identifier les positions qui permettent d'avoir une décoration qui respecte les deux conditions.

Partie B : modélisation et démonstration

On note \(x\) la distance \(\text{A}\text{E}\) exprimée en cm.
1. On cherche d'abord toutes les positions de \(\text{E}\) pour lesquelles l'aire du motif bleu recouvre la moitié de l'aire du carré \(\text{A}\text{B}\text{C}\text{D}\).
    a. Exprimer la distance \(\text{E}\text{B}\) en fonction de \(x\).
    b. Exprimer l'aire du motif bleu en fonction de \(x\).
    c. Montrer que résoudre l'équation \(2x^2-5x=0\) permet de répondre au problème.
    d. Une solution de cette équation est \(x=0\). Dire pourquoi cette solution n'est pas compatible avec le concours d'art urbain.
    e. Déterminer l'autre solution de l'équation.
2. On cherche toutes les positions de \(\text{E}\) pour lesquelles l'aire du motif bleu est supérieure à \(11\) m².
    a. Montrer que cela revient à résoudre l'inéquation \(2x^2-5x+3>0\).
    b. Démontrer que \(2x^2-5x+3=2(x-1)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\).
    c. En déduire les positions de \(\text{E}\) qui permettent de décorer une surface d'aire supérieure à \(11\)m².

3. Conclusion : déterminer où il faut placer le point \(\text{E}\) afin de satisfaire la contrainte du concours.